Cupole in muratura: comportamento statico e sismico

L'ARTICOLO IN BREVE
- La cupola in muratura è una struttura spaziale a volta dove l’intradosso e l’estradosso sono costituiti da due superfici di rivoluzione aventi lo stesso asse verticale e diverse forme geometriche, che possono essere pensate come ottenute dalla rotazione ad esempio di un arco semicircolare o ellittico.
- A differenza della calotta superiore, compressa in entrambe le direzioni meridiana e parallela, nella parte inferiore della cupola sono presenti sollecitazioni di trazione lungo i paralleli: quando la loro intensità raggiunge la debole resistenza a trazione della muratura, iniziano a comparire i primi danni, ossia fessurazioni lungo i meridiani che si manifestano a partire dalla base della cupola. La cupola, fessurandosi, si suddivide in tanti spicchi che si comportano come archi indipendenti.
- La cupola è stabile se è possibile definire una curva delle pressioni interna allo spessore dello spicchio. L’analisi statica e sismica del semiarco corrispondente allo spicchio, con conseguente verifica di sicurezza, può essere svolta mediante analisi limite su modello rigido-fragile, utilizzando il software professionale Aedes.SAV.

Le cupole in muratura. Comportamento statico e criteri di modellazione e analisi

La cupola in muratura è una struttura spaziale a volta dove l’intradosso e l’estradosso sono costituiti da due superfici di rivoluzione aventi lo stesso asse verticale e diverse forme geometriche, che possono essere pensate come ottenute dalla rotazione ad esempio di un arco semicircolare o ellittico (fig. 1)

 

 

Le sezioni orizzontali sono i ‘paralleli’, i semiarchi delle sezioni verticali sono i ‘meridiani’.

Dal punto di vista geometrico, la cupola può quindi essere pensata come una serie di spicchi o archi affiancati, tutti uguali e disposti lungo i meridiani, collegati fra loro da fasce di paralleli (anelli).

Sotto l’azione di carichi a simmetria assiale, lo stato di sollecitazione può essere considerato di tipo ‘membranale’: la deformazione della cupola tende a flettere gli spicchi meridiani ma è frenata dalla deformazione degli anelli. Di conseguenza, le azioni flettenti sono molto basse e le sollecitazioni sono di tipo estensionale e sostanzialmente uniformi nello spessore del guscio.

 

 

La fig. 2 mostra il meridiano circolare che rappresenta la cupola, avente raggio a. I punti lungo il meridiano sono identificati dall’angolo Φ (detto ‘colatitudine’, complemento della latitudine usata nella geografia terrestre). Per esaminare le risultanti degli sforzi all’interno del guscio, si considera un elementino superficiale infinitesimo determinato da due meridiani e due paralleli adiacenti (fig. 3). L’elementino viene individuato dalla colatitudine Φ e dalla longitudine Θ (fig. 4).

 

 

 

La fig. 4 mostra le risultanti degli sforzi che agiscono sui bordi dell’elementino e ne assicurano l’equilibrio sotto il peso proprio (indicato con w):

• N_Φ agisce lungo la direzione del meridiano, ed è variabile lungo il meridiano;
• N_Θ agisce in direzione circonferenziale lungo i paralleli: a causa della simmetria assiale, è costante lungo lo stesso parallelo ma è variabile con Φ.

Studiando l’equilibrio, si ricavano i valori di N_Φ e N_Θ (per le espressioni degli sforzi si rinvia a [1] [2]), diagrammati in fig. 5, dove i valori negativi indicano compressione e i positivi trazione.
N_Φ è di compressione lungo tutto lo sviluppo del meridiano e cresce dalla sommità alla base.

La risultante degli sforzi circonferenziali N_Θ è di compressione nella calotta superiore compresa fra il vertice della cupola e la colatitudine Φ’ pari a 51°,82 per la cupola circolare (e, in generale, compresa tra 40° e 60°); nella parte sottostante della cupola, N_Θ diviene di trazione e il suo valore aumenta rapidamente con l’aumento di Φ, cioè procedendo verso la base.

  

 

La fig. 6 mostra come sotto il carico verticale a simmetria assiale (peso proprio) la tensione negli archi meridiani è sempre in compressione, mentre le tensioni degli anelli sono di compressione nella parte superiore alla colatitudine Φ’ e di trazione nella parte inferiore.

  

 

Nella parte inferiore della cupola sono pertanto presenti sollecitazioni di trazione lungo i paralleli: quando la loro intensità raggiunge la debole resistenza a trazione della muratura, iniziano a comparire i primi danni, ossia fessurazioni lungo i meridiani che si manifestano a partire dalla base della cupola. Le lesioni investono una fascia della cupola ben più alta di quella interessata dalle sollecitazioni di trazione relative all’equilibrio membranale.

La cupola, fessurandosi, si suddivide in tanti spicchi che si comportano come archi indipendenti. Nella parte fessurata della cupola vengono meno gli sforzi N_Θ, e la curva delle pressioni, lungo la quale agiscono gli sforzi N_Φ, abbandona la superficie media della cupola e si inclina sull’orizzontale: gli spicchi della cupola trasmettono pertanto una spinta alla struttura di sostegno, tamburo con pilastri sottostanti (fig. 7).

 

   

La spinta all’imposta è la conseguenza statica più rilevante della fessurazione meridiana della cupola muraria.

La spinta impegna le strutture di sostegno della cupola (tamburo e sottostanti pilastri), che a questo punto devono assorbire non più solo carichi verticali ma anche spinte radiali: sotto l’azione di queste spinte le strutture di sostegno si deformano allargandosi radialmente. In definitiva:

• dalla chiave (sommità) fino a un valore della colatitudine pari a circa 20° [1] la cupola è intatta, e i paralleli sono soggetti a forze di compressione;
• al di sotto, la cupola si separa in spicchi divisi da fessure disposte lungo i meridiani.

Ponendo nulla la sollecitazione lungo i paralleli, l’iperstaticità del problema originario è ridotta e se la struttura risulterà in equilibrio così suddivisa in spicchi, lo sarà ancora di più considerando il contributo delle pressioni circonferenziali nella parte alta (la calotta non fessurata), le quali sicuramente contribuiscono alla stabilità d’insieme.

Si può così applicare il ’teorema statico’ secondo Heyman [1] per cui la cupola, o meglio: lo spicchio che la rappresenta, risulta stabile qualora sia possibile definire una qualunque linea delle pressioni all’interno del suo spessore. La risoluzione dell’arco viene eseguita pertanto con l’analisi limite sul modello rigido-fragile, metodo che interpreta la teoria di Heyman e viene applicato in generale allo studio degli archi in muratura.

Se è garantita la stabilità dello spicchio di fig. 8, allora l’intera cupola si sostiene.

  

    

In fig. 8 la spinta H in chiave rappresenta l’azione di compressione radiale esercitata dall’insieme degli archi sull’anello di sommità, nella zona della calotta esente da fessurazione.

Studiando l’equilibrio dell’anello, è quindi possibile ricavare lo sforzo di compressione in direzione circonferenziale lungo i paralleli. Nella teoria membranale, lo sforzo circonferenziale in sommità N_Θ (per unità di lunghezza) è pari a (1/2) · w ·a, con w carico per unità di superficie: w = ρ · s, essendo ρ il peso specifico della muratura, s lo spessore del guscio e a il raggio dell’arco circolare (raggio della cupola semisferica, vd. fig. 2) ed è uguale allo sforzo in direzione meridiana N_Φ (fig. 5).

Una formulazione più generale della compressione lungo l’anello nella calotta superiore può essere ottenuta dalla risoluzione con analisi limite (studiando la curva delle pressioni) dell’arco in muratura, che può avere geometria varia (ad esempio, non solo circolare ma ellittica) e può essere sottoposto anche ad altri carichi oltre al peso proprio, come il carico della lanterna in sommità.

L’analisi fornisce la spinta H (vd. fig. 8). Per un numero di archi pari a n (gli spicchi in cui la cupola è stata suddivisa) si ottiene un carico radiale p = n · H/ (2πR · s) , pressione che agisce sulla calotta superiore compressa di raggio medio R e di spessore s (pari allo spessore del guscio). Per l’equilibrio nella direzione y (fig. 9) si ha:

∫_π⁰ p · s· (R· dα) · senα = 2N

da cui: N = p · s · R

Per l’anello di sommità la dimensione lo sviluppo lungo il meridiano è indicata con d (d può essere assunta ad esempio pari allo spessore s, attribuendo all’anello una sezione quadrata). L’area della sezione su cui agisce N è dunque (s d). Ipotizzando una tensione normale di compressione σ_C uniforme, si ha:

N_Θ = σ_C · s · d

e pertanto: p · s · R = σ_C · s · d  =>  σ_C = p· R/d = n· H/ (2π · s · d)

La verifica di compressione della calotta compressa nella direzione circonferenziale dei paralleli consiste nel confronto:

σ_C  < f_md, essendo f_md la resistenza a compressione di progetto.

La tensione di compressione in direzione circonferenziale nell’anello superiore determina una resistenza a taglio grazie al coefficiente d’attrito: assumendo che questo sia pari a 0.5, si ottiene un taglio resistente pari a: τ = 0.5 · σ_C che si esplica sul giunto fra conci in direzione circonferenziale. Questo taglio resistente svolge un ruolo fondamentale per il sostegno di un carico in sommità prodotto da un’eventuale lanterna.

E’ possibile infatti che la sommità della cupola sia aperta e può anche essere presente una lanterna.
Tale configurazione non determina alcuna modifica sull’impostazione di analisi illustrata, e questo distingue nettamente la cupola dall’arco: per un arco, infatti, la rimozione di un qualsiasi concio (che sia o no la chiave) romperebbe la ‘catena’ di equilibrio e condurrebbe ad un collasso immediato. Nella cupola, invece, gli sforzi sono distribuiti in due direzioni (fig. 4).

L’anello di sommità, grazie alla resistenza per attrito determinata dalla compressione circonferenziale lungo l’anello, è in grado di sostenere l’eventuale carico della lanterna, carico che si traduce in un ‘taglio’ nella zona di sommità dello spicchio, laddove la lanterna si imposta.

  

 

Le verifiche di sicurezza possono essere completate controllando, oltre alla stabilità, le resistenze per compressione e per taglio lungo lo sviluppo meridiano dello spicchio.

In fig. 10 viene riassunto il modello di fessurazione delle cupole con formazione del meccanismo di collasso: dopo la formazione delle crepe lungo i meridiani si ha la crisi flessionale dello spicchio, con apertura delle cerniere.

  

  

Per quanto riguarda gli interventi di consolidamento, la realizzazione di cerchiature ad anello metalliche (utilizzate anche in passato) o in composito FRP (fasciature poste lungo i paralleli) è capace di impedire il distacco fra i diversi elementi e quindi il meccanismo di collasso degli spicchi (fig. 11).

 

In definitiva, lo studio di stabilità statica di una cupola (con sommità sia chiusa, sia aperta e quindi anche nel caso di sovrastante lanterna) può essere ricondotto all’analisi di stabilità di un arco rampante, dalla base alla sommità, determinato dalla suddivisione in spicchi: l’arco avrà quindi una profondità massima all’imposta e minima in sommità, ed uno spessore che potrà essere o meno costante, coincidente con lo spessore della cupola stessa. Le azioni all’imposta di base forniranno le sollecitazioni trasmesse alle strutture sottostanti (tamburo e pilastri) per la loro successiva verifica di sicurezza, generalmente condotta tramite meccanismi di ribaltamento fuori piano.

Fin qui per l’approccio riguardante la verifica di sicurezza statica. Prima di identificare le modalità di esecuzione della verifica sismica, è opportuno focalizzare l’attenzione sulle cause più frequenti di dissesto per le cupole:

• (a) strutture di sostegno (tamburo con sottostanti pilastri o muri) insufficienti;
• (b) movimenti (traslazioni, cedimenti) dei pilastri o muri di imposta;
• c) degrado dei materiali costituenti.

(a) L’idoneità o meno delle strutture di sostegno verrà accertata eseguendo verifiche di stabilità in condizioni statiche e sismiche: nel caso sismico, le spinte sono incrementate rispetto al valore statico e vengono calcolate attraverso l’analisi sismica dell’arco (o spicchio) rappresentativo della cupola. L’analisi sismica dell’arco si conduce applicando le forze sismiche corrispondenti alle masse, secondo i parametri sismici della zona di ubicazione della struttura.

(b) I movimenti delle imposte possono essere studiati attraverso un’analisi per cedimenti. Con i modelli di tipo rigido-fragile, l’analisi per cedimenti richiede che al movimento dell’imposta si associ la formazione di 3 cerniere, in modo tale che l’arco possa assumere una configurazione statica equilibrata diversa da quella originaria. In dipendenza dallo spessore del guscio e dalla forma dell’arco di rivoluzione, la soluzione staticamente e cinematicamente ammissibile corrispondente alla configurazione geometrica deformata può non essere identificabile o condurre a cedimenti molto piccoli: in tali casi è consigliabile verificare stabilità e resistenza attraverso l’analisi dell’arco sottoposto alle forze sismiche.

(c) Il degrado dei materiali costituenti è certamente una fonte di comportamento statico (e a maggior ragione sismico) critico. Il degrado viene tradotto in verifiche di resistenza (taglio, compressione) più penalizzanti e può essere descritto intervenendo sui parametri meccanici del materiale attraverso valutazioni di qualità muraria. Può essere anche applicato un coefficiente di degrado γD che riduce la resistenza di progetto (indicazioni di riferimento su γD per murature di sistemi voltati si trovano in §6.5.4 delle istruzioni CNR-DT 213/2015 per la valutazione della sicurezza strutturale di ponti stradali in muratura: sono proposti valori di γD compresi fra 1.00 e 1.20).

In ogni caso, deve essere condotta la verifica di stabilità e di resistenza dell’arco sottoposto alle forze sismiche. Applicando allo spicchio un campo di forze nella direzione del suo piano medio, diretto in un verso e nell’opposto si potranno accertare gli effetti dovuti al comportamento sopravvento (arco investito nel verso dall’esterno verso l’interno) e a quello sottovento (verso opposto), studiando quindi il singolo spicchio nelle diverse condizioni sismiche in cui può trovarsi.

Nel paragrafo seguente verrà illustrato l’applicazione del software Aedes.SAV [5] ad un caso studio per l’analisi di stabilità statica e sismica di una cupola in muratura attraverso il metodo dell’analisi limite.

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Indice dell'articolo: 

• Le cupole in muratura. Comportamento statico e criteri di modellazione e analisi
  
• Analisi di una cupola in muratura con il software Aedes.SAV
  
• Modellazione della cupola
  
• Analisi statica
  
• Analisi sismica
  
• Conclusioni