Analisi parametrica per edifici esistenti in muratura: ottimizzazione del progetto globale

La valutazione della sicurezza statica e sismica degli edifici esistenti in muratura è affetta da incertezze riguardanti le caratteristiche meccaniche dei materiali e la modellazione strutturale (definizione del telaio equivalente, comportamento delle fasce murarie, distribuzione del carico dei solai ecc.).

L’Analisi Parametrica consiste nell'elaborazione automatica di una serie di analisi strutturali considerando la variazione di alcuni parametri definiti dal Progettista, e consente in tal modo la gestione delle incertezze.
Per ogni combinazione definita dai parametri variabili, tra loro relazionati con opportune regole di raggruppamento e di esclusione, vengono eseguite le analisi e si memorizzano alcuni risultati significativi.
La gestione delle incertezze assume un'importanza fondamentale nei processi di ottimizzazione sia del progetto globale, sia degli interventi locali.

Nella progettazione globale, alcuni dei risultati più importanti sono i periodi principali di vibrazione e gli indicatori di rischio sismico ζ_E ottenuti mediante analisi pushover per i vari stati limite di riferimento. Al termine dell’Analisi, le combinazioni elaborate con i relativi valori dei parametri variabili e dei risultati monitorati costituiscono il riferimento per l’ottimizzazione del progetto. Vengono inoltre elaborati i parametri di sensitività, misura di quanto un parametro variabile influisca sulla risposta della struttura.

L'analisi parametrica

L’Analisi Parametrica consiste nello studio della variazione dei risultati in funzione di parametri variabili: questa tecnica si rivela molto importante per l’analisi strutturale degli edifici esistenti.

In ambito ingegneristico, i software vengono normalmente utilizzati scegliendo i dati in input ritenuti rappresentativi del comportamento strutturale, ottenendo i corrispondenti risultati, ad esempio in termini di indicatore di rischio sismico.

L’analisi degli edifici esistenti è caratterizzata da varie incertezze sui valori in input.

Si possono eseguire in sequenza più analisi variando alcuni parametri affetti da incertezze, ma l’onere gestionale dei diversi modelli può essere elevato: ogni volta si deve creare una copia del modello e mettere a punto la configurazione strutturale da sottoporre all’analisi.

Risulta conveniente una metodologia che permetta al Progettista la specifica in input di un campo di variabilità per i parametri affetti da incertezze, con la gestione automatica delle combinazioni che si generano, ognuna corrispondente ad una variante del modello strutturale.

Al termine di questa analisi, definita Analisi Parametrica, è possibile individuare le combinazioni di maggior interesse, ad esempio nei confronti del minimo indicatore di rischio sismico.

Nel presente documento, viene trattata la tecnica della Ricerca Esaustiva, che prevede l’esecuzione dell’analisi strutturale per tutte le combinazioni generate dalla variabilità dei parametri.

Le combinazioni generate in dipendenza dai parametri variabili scelti dal Progettista possono ovviamente essere molte, e il loro numero cresce in maniera importante aumentando i parametri variabili. Questo aspetto può essere controllato inquadrando correttamente il caso studio, per definire quali siano le incertezze più significative e quali relazioni possono sussistere a priori fra i diversi parametri variabili, escludendo così combinazioni ridondanti o superflue.
Ad esempio, i parametri meccanici dei materiali (resistenze, moduli di elasticità) mantengono in genere tra loro una relazione che prevede l’utilizzo contemporaneo di valori minimi, medi o massimi oppure ottenuti attraverso indicatori di qualità muraria (IQM) che forniscono per i diversi parametri un ‘gruppo’ di valori fra loro coerenti.

Più in generale, la gestione delle incertezze è una problematica che comprende diversi aspetti.

Come noto, le incertezze sono di tipo aleatorio (variabili descritte da una funzione continua di probabilità) e di tipo epistemico (variabili dovute ad una non completa conoscenza dell’oggetto di studio).

Fra le variabili di tipo aleatorio, i parametri meccanici (resistenza a compressione, resistenza a taglio, moduli di elasticità) sono quantità definite positive che seguono generalmente la distribuzione log-normale, caratterizzata da valore medio e deviazione standard. Il valore medio si rileva dai dati sulle tipologie murarie (Tab. C8.5.I della Circ. 2019 alle NTC 2018), mentre la deviazione standard, non presente nella tabella citata, è riportata in altri documenti (vd. Tabella 3.1 delle linee guida CNR DT 212-2013: Istruzioni per la valutazione affidabilistica della sicurezza sismica di edifici esistente [1]).

Le variabili di tipo epistemico, associate a difetto di conoscenza della struttura o del comportamento meccanico dei suoi elementi componenti, sono riconducibili a valori discreti, e comportano pertanto la scelta fra due o più valori alternativi.

Alcuni esempi: criteri di definizione del telaio equivalente (suddivisione delle pareti in maschi murari), zone rigide dei maschi murari, rigidezza fessurata della muratura, distribuzione dei carichi sui solai, tipo di modellazione delle fasce murarie (bielle o elementi beam), grado di accoppiamento fra pareti ortogonali.

Un primo approccio relativo alla gestione delle incertezze consiste nell’analisi di sensitività: si tratta di un’analisi che permette di individuare i parametri riguardanti geometria, materiali, carichi, vincoli dai quali dipende maggiormente la risposta strutturale del fabbricato.

La finalità di tale analisi può essere quella di pianificare le indagini da effettuare per migliorare la conoscenza delle proprietà meccaniche e delle caratteristiche costruttive dell’edificio.
L’analisi di sensitività è stata introdotta nei documenti normativi italiani dalle istruzioni CNR-DT 212/2013 (cfr. §3.1.2; §B.5.3), proponendo l’analisi statica non lineare come metodo di calcolo appropriato per studiare la dipendenza del comportamento strutturale degli edifici esistenti in muratura dalla variabilità dei parametri affetti da incertezze.

In tale documento, dopo aver focalizzato i parametri affetti da incertezza, viene condotta una serie di analisi statiche non lineari, adottando per tutti i parametri di tipo aleatorio continuo (es.: la resistenza a compressione) il valore medio dell’intervallo corrispondente eccetto un parametro, al quale è stato attribuito alternativamente il valore massimo o minimo dell’intervallo stesso (espressione (3.1) delle CNR-DT 212/2013). Per i parametri di tipo epistemico vengono ‘pesati’ i risultati corrispondenti alle varie opzioni alternative utilizzando la formulazione (3.4) delle citate CNR-DT 212/2013.

L’analisi di sensitività individua quindi i parametri che maggiormente influenzano la risposta strutturale, per i quali può pertanto essere più opportuno approfondire le indagini.

Con riferimento al percorso indicato nel documento citato, all’analisi di sensitività segue l’analisi di rischio. A seguito delle indagini è infatti possibile adottare stime migliori dei parametri stessi, aggiornando le distribuzioni di probabilità delle variabili affette da incertezza. L’analisi di rischio consiste nel considerare ancora variabili affette da incertezze e quindi nell’analizzare le diverse combinazioni corrispondenti. L’insieme dei parametri variabili può essere stato modificato rispetto a quello scelto per l’analisi di sensitività, ad esempio ponendo come deterministiche, e quindi su un valore prefissato, le variabili i cui effetti sulla risposta sono risultati poco significativi.
Poiché nell’analisi di rischio occorre associare una probabilità ad ogni variabile, quindi anche a quelle epistemiche, è necessario operare in tal senso scelte di tipo soggettivo.
Nell’analisi di rischio, le probabilità corrispondenti ai valori delle variabili incerte conducono, per ognuna delle combinazioni considerate, a un valore di capacità in termini di accelerazione al suolo (o di indicatore di rischio) associato alla probabilità della combinazione, e conseguentemente è possibile costruire curve di fragilità per i vari stati limite di riferimento.

Sulle analisi di sensitività e di rischio sopra descritte sono opportune alcune considerazioni.

Nell’analisi di sensitività la variazione fra massimo e minimo per una variabile, tenendo ferme tutte le altre sui valori medi, limita il numero di combinazioni analizzate per studiare l’effetto di un parametro variabile e di conseguenza le informazioni ricavate potrebbero non essere esaustive: il comportamento strutturale è in generale molto complesso, essendo caratterizzato da un sistema dove le variabili tra loro indipendenti possono assumere qualsiasi valore del proprio intervallo.

Ad esempio, l’effetto del valore massimo di un parametro in corrispondenza del massimo o del minimo di un altro parametro da esso indipendente può essere ben diverso: pertanto, bloccare il secondo parametro sul valore medio può non condurre a una valutazione appropriata degli effetti dei valori estremi del primo parametro.
In altre parole, il disaccoppiamento tra variabili condotto nell’analisi di sensitività come sopra formulata esamina solo un sottoinsieme delle possibili combinazioni e quindi non è esaustivo.

Si può ritenere più significativo procedere direttamente con un’Analisi Parametrica completa, esplorando tutte le combinazioni. La Ricerca Esaustiva dell’Analisi Parametrica produce infatti un quadro completo sulle capacità della struttura corrispondenti alle diverse combinazioni.

Si può così individuare l’insieme di valori dei parametri variabili che corrisponde ad esempio al risultato più sfavorevole (il minimo indicatore di rischio sismico), e contemporaneamente è possibile studiare l’influenza dei singoli parametri, sia applicando i criteri restrittivi dell’Analisi di Sensitività sopra illustrata, sia esplorando lo spazio dei risultati secondo criteri definiti dal Progettista.

L’Analisi Parametrica include quindi l’Analisi di Sensitività, ma costituisce uno strumento più vasto e completo, fondandosi sulla Ricerca Esaustiva.

Per quanto riguarda l’analisi di rischio: sussistono notevoli perplessità sulle scelte delle probabilità associate a variabili epistemiche.

Si faccia ad esempio riferimento ad un lavoro sulla valutazione dell’effetto delle incertezze di modello sulla risposta sismica di edifici in muratura esistenti, dove viene presentato un caso studio [2].
Le incertezze di modellazione sono variabili discrete, e viene seguito un approccio ad albero logico (ossia l’insieme delle combinazioni generate dai diversi valori discreti dei parametri variabili), assegnando ad ogni valore una determinata probabilità (cfr. fig. 3); per ogni ramo dell’albero logico (cioè, per ogni combinazione) si ottiene un risultato in termini di accelerazione e la probabilità corrispondente, ottenuta dalla moltiplicazione delle probabilità assegnati ai valori che i vari parametri variabili assumono nella combinazione. Si ottiene in tal modo, per i diversi stati limite di riferimento, la distribuzione di probabilità delle capacità in termini di accelerazione.

Su alcuni parametri le probabilità assegnate ai diversi valori derivano da un giudizio soggettivo.

Ad esempio, uno dei parametri variabili di modello considerati è la rigidezza fessurata della muratura.
Sono stati scelti tre valori possibili: 50% (rigidezza fessurata pari alla metà della rigidezza elastica), 75% e 100% (rigidezza non fessurata). A questi tre valori sono stati associate le seguenti probabilità: 45% ai valori del 100% e del 50%, e 10% al 75%. La giustificazione di tale scelta è la seguente (cit. da [2]):

• l’opzione 100% si ritiene ragionevole se il Progettista ritiene che i valori riportati nella tabella normativa per i moduli di elasticità siano già bassi se confrontati con i risultati sperimentali;
• il valore 50% è un coefficiente di riduzione che viene spesso adottato nella pratica ingegneristica e costituisce anche il valore di default dei diversi programmi di analisi strutturale;
• il valore 75% è il più coerente con i risultati sperimentali e quindi in molti casi è probabilmente la scelta più appropriata. A questo valore si associa una bassa probabilità, in quanto si ritiene che solo una piccola percentuale di Progettisti ricorrerebbe a risultati sperimentali per la valutazione di questo coefficiente di riduzione.

Non è chiaro per quale motivo si deve associare la probabilità più bassa alla scelta più appropriata.

Altre probabilità soggettive vengono associate ai due valori del parametro di connessione fra pareti ortogonali, attribuendo il 75% al completo collegamento, e il 25% alla mancanza di accoppiamento flessionale e a taglio, ritenendo che il primo sia l’approccio di modellazione più corretto: valori altrettanto giustificabili in tal senso potrebbero essere 60% e 40%, scelta adottata nell’esempio proposto in §B.6 della CNR-DT 212/2013.
Nel documento normativo la scelta viene giustificata osservando che l’edificio oggetto di studio (un edificio esistente reale danneggiato in occasione del sisma del 29 maggio 2012 in Emilia, del quale è disponibile il rilievo del danno) non mostra alcuna fessurazione in corrispondenza degli ammorsamenti.
Le scelte sulle variabili epistemiche dovrebbero essere in ogni caso adeguatamente motivate per costituire un riferimento in campo professionale.

Un’ulteriore osservazione riguarda le funzionalità del software utilizzato nei riguardi della rigidezza delle pareti fuori piano, un aspetto certamente coinvolto nel comportamento di due pareti tra loro ortogonali sotto azione sismica lungo una direzione rispetto alla quale una delle pareti è orientata ortogonalmente a tale direzione. Prendere in considerazione la rigidezza fuori piano modificherebbe la gestione dell’incertezza e quindi il giudizio sui risultati [2]. Si ritiene infatti preferibile includere nella modellazione la rigidezza delle pareti in direzione trasversale, ritenendo che il comportamento di ogni elemento strutturale debba essere rappresentato nella sua completezza, seguendo le originali formulazioni del metodo a telaio equivalente [3].
Le analisi di rischio condotte sulla base di ipotesi soggettive potrebbero condurre a giudizi di vulnerabilità poco attendibili.

Tutto ciò premesso, nel presente lavoro si focalizza l’attenzione sull’Analisi Parametrica come esame esaustivo delle combinazioni derivanti dalla variabilità dei parametri affetti da incertezze, in modo da supportare efficacemente il Progettista sia nelle analisi di vulnerabilità sia nella progettazione degli interventi di consolidamento.

In prospettiva, questo approccio può essere irrobustito sia attraverso metodi di ottimizzazione in grado di gestire i casi con elevato numero di combinazioni, sia includendo le distribuzioni di probabilità dei parametri meccanici.

L’Analisi Parametrica descritta nel seguito si sviluppa secondo un percorso originale di Ricerca ed è in generale implementabile nei software dedicati all’analisi strutturale degli edifici esistenti in muratura. Per illustrare le procedure sia dal punto di vista teorico, sia a fini applicativi, è necessario fare riferimento ad un ambiente software specifico che rende disponibile tale analisi: i paragrafi seguenti sono sviluppati utilizzando il software Aedes.PCM, versione 2023 [4], dove vengono proposti in merito appositi strumenti per la definizione dei dati e la consultazione dei risultati.

Per eseguire l’Analisi Parametrica è necessario innanzitutto definire i parametri variabili, cioè una lista di parametri relativi alla modellazione strutturale, che si intende far variare nel corso dell’analisi. I parametri variabili possono riguardare opzioni generali di modellazione o proprietà di materiali, aste, nodi e solai. Per ogni parametro è necessario specificare l’elenco dei possibili valori o un intervallo di variabilità.

Al lancio dell’Analisi Parametrica, vengono generate tutte le possibili combinazioni dei parametri variabili tenendo conto della loro variabilità e dei vincoli imposti. Per ogni combinazione è possibile fare riferimento a due analisi fondamentali, la modale e la pushover, memorizzando i valori di alcuni risultati monitorati, come i periodi fondamentali di vibrazione nelle direzioni X e Y, e gli indicatori di rischio sismico ζ_E per i vari stati limite considerati.

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