Analisi del comportamento torsionale di ponti multicellulari con il metodo delle costanti di cella

La nota illustra uno studio inerente la ripartizione tra le celle degli impalcati scatolari della sollecitazione di torsione di cui si ricerca la suddivisione nei momenti torcenti interni di cella che in campo elastico sono proporzionali alla rotazione unitaria e congruente delle celle ed alla rigidezza torsionale di ciascuna di esse.

In tale ricerca occorre tenere presente che le rigidezze di cella si discostano dalla rigidezza torsionale alla Bredt di una sezione a cella unica in quanto in una sezione multicellulare soggetta a torsione (fig. 1) le celle non sono indipendenti le une dalle altre nei riguardi dell’energia di deformazione interna ma bensì sono tra di esse interagenti.

L’interazione è attivata dal lavoro mutuo interno compiuto dalle tensioni tangenziali di cella e dagli scorrimenti angolari reciproci lungo i rami comuni di celle attigue per rendere congruente la compagine delle rotazioni.

La conseguenza saliente di tale interazione consiste in una riduzione di rigidezza torsionale della sezione multicellulare se il lavoro mutuo è positivo o viceversa in un effetto irrigidente se il lavoro mutuo è negativo, come ad esempio avviene nel caso del modello a celle affiancate [1].

PER APPROFONDIRE: Impalcati da ponte: studio con metodi energetici di sezioni multicellulari soggette a torsione

 Al fine pertanto di valutare le rigidezze torsionali effettive che determinano la ripartizione dell’azione torcente esterna è stata elaborata una procedura denominata nel testo “metodo delle costanti di cella” che permette di valutare il momento di inerzia torsionale primario dell’intera sezione come proprietà additiva dei diversi momenti di inerzia torsionali delle singole celle (così come avviene per altre tipologie strutturali in cui le rigidezze sono indipendenti dal lavoro interno mutuo) ma mettendo nel contempo nel debito conto l’interazione tra le celle che soggiace e regola il comportamento torsionale delle sezioni multicellulari.

Tale obiettivo si consegue, nell’ambito di una soluzione generale equilibrata e congruente, adottando come variabili statiche i flussi di cella, ossia flussi locali la cui distribuzione lungo i contorni delle celle dà luogo per l’equivalenza statica ai momenti torcenti interni (M_ti=2Ω_iq_j), ciascuno proporzionale al flusso locale (q_i) ed all’area (Ω_i) racchiusa dalla linea media della cella, che nell’insieme assicurano l’equilibrio rotazionale della sezione pluriconnessa.

Assegnato il momento torcente esterno ogni flusso locale è costante lungo il perimetro della cella di pertinenza, diversamente da quanto avviene per i flussi tangenziali risultanti che si ottengono per sovrapposizione dei flussi di cella e che variano da ramo a ramo della sezione multicellulare.

Ciò consente di utilizzare nella procedura risolutiva le sole condizioni di congruenza tra le rotazioni torsionali delle singole celle che si esplicitano nelle equazioni di circuitazione delle tensioni tangenziali espresse in funzione dei flussi locali di cella e della rotazione torsionale unitaria della sezione.

Si prescinde così dalle condizioni di continuità nei nodi dei flussi tangenziali risultanti (che diventano ridondanti in quanto già direttamente soddisfatte dai flussi di cella) e di equilibrio rotazionale della sezione, che è imposta in forma implicita in quanto la rotazione torsionale viene assorbita in nuove variabili normalizzate.



Così operando é infatti possibile associare ad ogni cella una grandezza ad essa correlata [C_i = q_i/Gθ=ρi ²] definita dal rapporto tra il flusso locale di cella ed il prodotto del modulo elastico tangenziale del materiale e della rotazione torsionale unitaria della sezione che accorpa la variabile statica [q_i] e quella cinematica [θ] in un’unica variabile geometrica [C_i ]. La nuova variabile ha infatti dimensione del quadrato di una lunghezza che a sua volta si dimostra nel testo essere il raggio d’inerzia torsionale della cella [ρ_i]. In tal modo si riconduce il tema della circuitazione dei flussi tangenziali (e quindi della ripartizione dell’azione torcente esterna) alla ricerca di proprietà geometriche intrinseche della sezione multicellulare.

Metodo delle costanti geometriche di cella

Si considera la sezione a celle multiple illustrata in fig. 2 soggetta al momento torcente esterno ed ai flussi di cella. In un precedente contributo si è mostrato che le equazioni di circuitazione si ricavano imponendo l’eguaglianza tra il lavoro di deformazione interno (diretto e mutuo) compiuto dalle tensioni tangenziali di cella ed il lavoro esterno dell’azione torcente, condizione che conduce all’equazione ricorsiva di cella:

Σ_j τ_j a_ij = 2 Ω * G θ     (i=1,nc; j=1, n_ij)

essendo [τ_j] la tensione tangenziale nel tratto j-esimo della cella i-esima di lunghezza a_ij mentre:

θ  = M_t / G J_t   [L-1]

è la rotazione torsionale unitaria della sezione [θ = dθ/dx], comune a tutte le celle, espressa dal rapporto tra il momento torcente esterno [Mt] e la rigidezza rotazionale della sezione [GJ_t] funzione del modulo elastico tangenziale del materiale [G] e del momento d’inerzia torsionale della sezione multicellulare [J_t]. Indicato con [q_j = τ_j s_j] il flusso di cella e con [s_j] lo spessore locale della parete sottile l’equazione di circuitazione può scriversi nella forma equivalente:

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