5 cose da sapere nel calcolo di lastre e piastre in CA e calcestruzzi fibrorinforzati

Nell’articolo viene trattato come calcolare e operare quando un professionista si trova davanti ad una struttura speciale, come creare modelli FEM ben posti, come considerare la fessurazione nei calcoli FEM e come sfruttare i vantaggi dei materiali innovativi come i FRC.

I 5 punti fondamentali per una corretta progettazione di strutture in FRC

Sebbene le principali Norme e Codici¹ relative al calcolo delle strutture in calcestruzzo armato (CA) e del calcestruzzo fibrorinforzato (FRC) propongano metodi analitici, approssimati o empirici per il progetto, quando le strutture si discostano dalle forme tradizionali (trave a sezione rettangolare) non resta che ricorrere ad un’analisi ad Elementi Finiti (FEA).

Come spesso accade, anche la valutazione degli Stati Limite di Servizio di un calcestruzzo fessurato risulta più laboriosa della valutazione di Stati Limite Ultimi e l’approccio FEA mediante una analisi non lineare diventa, di fatto, indispensabile. Gli strumenti di calcolo oggi disponibili permettono di affrontare questo problema in maniera agevole, ma questo non deve far dimenticare che si tratta di una analisi da affrontare con rigore e metodo.

Per tale motivo, in accordo a Linee Guida accettate da associazioni di riferimento quali NAFEMS² e ASME³  (riprese di recente dall’Autore⁴) descriviamo cinque punti che riteniamo fondamentali per un buon calcolo strutturale per giungere alla corretta creazione e simulazione (Modeling & Simulation) di un modello di struttura in FRC, alla Verifica dei risultati e alla Validazione degli stessi (Verification & Validation). 

1. Quali software utilizzare?

La simulazione realistica di calcestruzzi FRC (così come quella dei calcestruzzi armati tradizionali) richiede software con specifiche caratteristiche: la capacità di generare e controllare mesh accurate del modello geometrico, modelli di materiale che considerino la meccanica nonlineare della frattura, algoritmi di convergenza avanzati come l’Arc-Lenght, la letteratura mostra come tra i software più utilizzati, sia in ricerca che in applicazioni professionali, vi siano DIANA (TNO-DIANA), ABAQUS (Dassault-Simulia) e Athena (Cervenka).

Un’alternativa con un conveniente rapporto qualità prezzo è MIDAS FEA NX (MIDAS IT).

Che cosa è Midas FEA NX 

Midas FEA NX è un software di modellazione solida 3D e di analisi non lineari avanzate per l’ingegneria civile. Il software possiede strumenti di modellazione di ultima generazione e, grazie alla sua compatibilità con altri formati, è possibile raggiungere livelli di modellazione molto avanzati in tempi brevi. Il potente meshatore e solutore consente di rappresentare e risolvere con precisione il modello agli elementi finiti che meglio rappresenta la geometria solida precedentemente creata. > Scopri tutte le caratteristiche di Midas FEA NX

2. Tipi di elementi finiti e mesh

In genere la geometria della struttura in calcestruzzo viene modellata mediante mesh di elementi finiti di volume (3D), a 8 nodi, con formulazione isoparametrica, basata su funzioni di forma lineari e integrazione su punti Gauss.

Le geometrie delle barre di armatura possono essere modellate mediante elementi 1D (beam), mentre per le reti elettrosaldate è disponibile un apposito elemento 2D che richiede di specificare diametri e passi nelle due direzioni (Figg. 1 e 2).

Il collegamento tra acciaio e calcestruzzo può avvenire con due approcci: “bond slip”, specificando una legge non lineare di attrito fino a rottura con sfilamento, o “embedded”, dove la connessione tra i due materiali non necessita di nodi coincidenti essendo realizzata da rigid link automaticamente generati. Il legame bond-slip viene proposto nel Model Code per calcestruzzi ordinari mentre per un FRC alcuni testi⁵ consigliano di scegliere ancora il legame del Model Code per un calcestruzzo con equivalente resistenza a compressione. Il secondo approccio, più semplice, permette comunque una buona stima delle capacità ultime della sezione.

3. Modelli costitutivi 

Per modellare i fenomeni fessurativi è necessario un modello di meccanica non lineare della frattura al quale associare dei diagrammi σ-ε del calcestruzzo e dell’acciaio di armatura. 

Modelli per la compressione. MIDAS FEA NX mette a disposizione molti modelli, alcuni basati su parametri, altri definibili per punti.

Modelli per la trazione. Per il comportamento a trazione (sia di un calcestruzzo FRC che normale) è possibile riferirsi al Fib Model Code⁶  e alle CNR-DT 207⁷. Il comportamento a trazione e i fenomeni di fessurazione vengono desunti da prove sperimentali ottenendo un diagramma σ-w che mette in relazione le tensioni di trazione σ con l’apertura delle fessure w: l’area di questo diagramma rappresenta la cosiddetta energia di frattura Gf che viene dissipata durante la fessurazione. Per un calcolo FEA sarà necessario convertire la w in deformazione ε. Consideriamo due casi. 

Calcestruzzo ordinario. Assumendo il verificarsi di fenomeni di bond slip, e nota la curva σ-w (della quale il software propone diversi modelli parametrici desunti da letteratura) per un determinato calcestruzzo, la ε si ottiene usualmente dividendo w per la larghezza media h di un elemento finito (poichè la fessura può essere ragionevolmente localizzata nell’ambito di un unico elemento finito). Il software, richiede Gf, h, la scelta la forma della curva, calcolando il corrispondente diagramma σ-ε. In assenza di dati sperimentali, il Model Code 2010 propone Gf = 73 fcm^0.18 [N/m], un diagramma classico è quello “Exponential” riportato in Fig.3, mentre la larghezza media di un elemento 3D è pari a ³√V.

Calcestruzzo fibrorinforzato. Gli FRC possono avere curve σ-w degradanti fino a incrudenti in funzione di molti fattori. Va posta attenzione alla eccessiva semplificazione: curve σ-w, pur essendo ragionevoli per predire SLU, spesso non sono sufficienti a modellare lo sviluppo delle fessure e quindi gli SLE. È consigliabile utilizzare un diagramma “User Defined”, definendo la curva per punti, desunta da diagrammi σ-w ottenuti con prove.
Va considerato inoltre che la presenza delle fibre comporta fessure meno localizzate ed elementi finiti adiacenti alla fessura soggetti a tensioni maggiori perché coinvolti dal lavoro di “cucitura” delle fibre. L’ipotesi di localizzazione di una fessura in un singolo elemento finito non è più ragionevole e per calcolare correttamente l’energia di frattura sarà necessario mediare su più elementi: la larghezza da assumere per convertire w in ε dovrà essere maggiore di h. 

I diagrammi σ-ε scelti per la trazione e la compressione sono associati ad un Modello di meccanica della frattura “smeared” Crack Model.

La sarà di tipo rotating (la faccia della fessura resta ortogonale alle direzioni principali). La fessura viene numericamente “spalmata” (smeared crack) lungo gli elementi finiti, sebbene i punti Gauss restino gli indicatori puntuali di apertura della fessura nella mesh.

Il Metodo Smeared Crack, essendo non lineare, prevede un aggiornamento della matrice di rigidezza per ogni step di carico. MIDAS FEA NX permette un approccio con Matrice Secante (utilizzata in genere per analisi di strutture in CA che sviluppano ampie fessurazioni) oppure con 

Matrice Tangente (più appropriato per fessurazioni localizzate o per propagazioni di fessure).

Cosa fare una volta definiti mesh e materiali? L’analisi statica

Una volta definiti mesh e materiali, vincoli e carichi, è possibile eseguire una analisi non lineare statica. Visto il carattere softening dei materiali sia a trazione che a compressione, è raccomandabile attivare l’algoritmo di convergenza “Arc-Lenght”.

La lettura dei risultati prevede spostamenti, deformazioni, tensioni, elementi finiti fessurati, stato delle fessure (parzialmente aperta, aperta, ri-chiusa).

4. Controllo dei risultati

La Verifica di una applicazione dell’analisi FEA alla fessurazione di calcestruzzi può essere ottenuta con le formulazioni chiuse presenti nelle Norme già citate. La Verifica del Codice di Calcolo (Code Verification) è invece effettuata con Casi Prova (Benchmarks) riportati nella documentazione del Software. Resta da sottolineare la necessità, per analisi FEA di meccanica della frattura, di studi di sensitività variando i parametri chiave (curve σ-ε, energia di frattura G, larghezza di banda h), nonché il grado di infittimento della mesh.

5. La Validazione sperimentale

La Validazione si effettua riproducendo prove sperimentali. È raro poter avere una tale occasione in ambito professionale, tuttavia un buon esempio è il lavoro di preparazione di “Linee Guida per analisi non lineari di strutture in calcestruzzo: Travi (Parte 1) e Lastre (Parte 2)”, svolto presso il TU Delft da P. Feenstra, B. Belletti e M. Hendriks⁸ .

• ¹  RILEM TC 162-TDF (2003) “Test and design methods for steel fibre reinforced concrete”; CEB/Fib “Model Code” 2010; CNR-DT 204/2006:” Istruzioni per la Progettazione, l'Esecuzione ed il Controllo di strutture di Calcestruzzo Fibrorinforzato”.
• ²  NAFEMS, “What is Verification and Validation?”, 2009
• ³  ASME V&V 10, “Guide for Verification and Validation in Computational Solid Mechanics”, 2007
• ⁴  P. Segala, “La Validazione e la Verifica dei modelli di calcolo strutturale: gli standard internazionali e le procedure dei produttori software”, Structural Modeling n°5, www.digital-modeling.it
• ⁵  A. Jansson, “Fibres in reinforced concrete structures - analysis, experiments and design”
• 2008, ISSN 1652-9146, Department of Civil and Environmental Engineering, Chalmers University of Technology, Göteborg, Sweden
• ⁶  Model Code 2010 Par. 5.1.5. “Tensile strenght and fracture properties”, e Par. 5.6 “Fibres/fibre-reinforced concrete”
• ⁷  CNR-DT 204/2006 Par. 2.5.2.2. “Comportamento a trazione”
• ⁸  Prof.ssa Ing. Beatrice Belletti, beatrice.belletti@unipr.it

Chi è CSPFea

CSPFea si occupa di commercializzare software di calcolo strutturale per il settore AEC. La mission aziendale è quella di assistere società di ingegneria, professionisti ed aziende impegnate nel vasto settore dell’ingegneria civile, dell’architettura e delle costruzioni (AEC), aiutandoli a migliorare processi e metodi, capacità di analisi e di progettazione mediante la simulazione: CSPFea è il partner per incrementare le vostre prestazioni, migliorare il processo di design e l’affidabilità dei vostri servizi.